Система лінійних рівнянь

Розв'яжіть систему з двох рівнянь методом Крамера, підстановки або додавання, а систему з трьох рівнянь — методом Гаусса. Кожен крок показано, відповідь перевіряється підстановкою, а для 2×2 будується графік.

Введіть коефіцієнти

Рівняння 1 (синя лінія)

x+y=

Рівняння 2 (червона лінія)

x+y=

Можна вводити десяткові дроби (0,5). Від’ємні коефіцієнти — зі знаком «−». Якщо змінної немає — пишіть 0.

Розв’язок (Метод Крамера)

1
Записуємо систему
$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$
2
Обчислюємо визначники
Δ — визначник із коефіцієнтів при x та y; Δx і Δy виходять заміною відповідного стовпця вільними членами.
$\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 2 \cdot \left(-1\right) - 3 \cdot 3 = -11$
$\Delta_x = c_1 b_2 - c_2 b_1 = 12 \cdot \left(-1\right) - 7 \cdot 3 = -33$
$\Delta_y = a_1 c_2 - a_2 c_1 = 2 \cdot 7 - 3 \cdot 12 = -22$
3
Знаходимо x та y
Δ ≠ 0, тому система має єдиний розв’язок.
$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-33}{-11} = 3$
$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-22}{-11} = 2$

Відповідь

x = 3,\; \quad y = 2

(3;\; 2)

Перевірка підстановкою

2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12

✓ Рівняння 1: $12 = 12$

3 \cdot 3 - 2 = 7

✓ Рівняння 2: $7 = 7$

Схожі інструменти

НСД і НСК

🔥 калькулятор

Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

Калькулятор кореня

new калькулятор

Квадратний, кубічний і n-го степеня корінь, повний квадрат, винесення множника з-під кореня

Дроби

🔥 калькулятор

Додавання, віднімання, множення та скорочення дробів

Пропорції

🔥 калькулятор

Знаходження невідомого члена пропорції (x) методом хрест-навхрест

Відсотки

🔥 калькулятор

Відсоток від числа, знижка, націнка, ПДВ 20% і початкове число

Теорема Піфагора

🔥 калькулятор

Гіпотенуза та катети прямокутного трикутника

Системи лінійних рівнянь 2×2

Стандартний запис системи двох лінійних рівнянь виглядає так:

\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}

Метод підстановки

Крок 1. Виражаємо одну змінну через іншу з будь-якого рівняння (краще там, де коефіцієнт $\pm 1$ ).
Крок 2. Підставляємо цей вираз в інше рівняння — виходить рівняння з однією змінною.
Крок 3. Розв'язуємо його, а потім знаходимо другу змінну з виразу з кроку 1.

Метод додавання

Крок 1. Множимо рівняння на числа так, щоб коефіцієнти при одній із змінних стали протилежними.
Крок 2. Додаємо рівняння почленно — ця змінна зникає.
Крок 3. Знаходимо другу змінну й підставляємо її в одне з рівнянь, щоб знайти першу.

Метод Крамера

Крок 1. Знаходимо головний визначник системи ( $\Delta$ ):
$\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1$
Крок 2. Знаходимо допоміжні визначники для $x$ та $y$ :
$\Delta_x = c_1 b_2 - c_2 b_1$
$\Delta_y = a_1 c_2 - a_2 c_1$
Крок 3. Якщо $\Delta \neq 0$ , знаходимо невідомі:
$x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$

Скільки розв'язків має система

Один розв'язок — прямі перетинаються ( $\Delta \neq 0$ ).
Розв'язків немає — прямі паралельні: коефіцієнти пропорційні, а вільні члени — ні. Наприклад, $x + y = 2$ і $2x + 2y = 5$ .
Безліч розв'язків — прямі збігаються: усі три числа пропорційні. Наприклад, $x + y = 2$ і $2x + 2y = 4$ .

Системи 3×3: метод Гаусса

Систему з трьох рівнянь записують розширеною матрицею: у стовпцях — коефіцієнти при $x, y, z$ , після риски — вільні члени.

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right)

Прямий хід. Дії над рядками ( $R_2 \to R_2 - 2R_1$ тощо) створюють нулі під головною діагоналлю. Якщо на потрібному місці стоїть нуль — рядки міняють місцями.
Зворотний хід. З останнього рівняння знаходимо $z$ , підставляємо в друге — знаходимо $y$ , потім у перше — $x$ .
Особливі випадки. Рядок $0 = c$ при $c \neq 0$ означає, що розв'язків немає; якщо ненульових рівнянь менше трьох — розв'язків безліч.

Дивіться також

Розв'язати рівняння — одне лінійне чи квадратне рівняння з поясненням;
Графік функції — побудова прямих і парабол.

Часті запитання

Що таке система лінійних рівнянь?

Це набір з кількох рівнянь зі спільними невідомими змінними. Розв'язком системи є такі значення цих змінних (наприклад, координати точки x та y), які одночасно задовольняють кожне рівняння системи.

Який метод розв'язання системи вибрати?

Усі методи дають однакову відповідь. Метод підстановки зручний, коли в якомусь рівнянні є змінна з коефіцієнтом 1 або −1. Метод додавання швидкий, коли коефіцієнти при змінній однакові чи протилежні. Метод Крамера — універсальний для систем 2×2 і потребує лише визначників. Систему 3×3 зазвичай розв'язують методом Гаусса.

Як працює метод Гаусса?

Систему записують розширеною матрицею й за допомогою дій над рядками (додавання рядків, множення на число) отримують нулі під головною діагоналлю. Потім з останнього рівняння знаходять z, підставляють його в попереднє, щоб знайти y, і так піднімаються до x.

Скільки розв'язків може мати система?

Геометрично кожне лінійне рівняння з двома змінними — це пряма. Дві прямі можуть перетинатися в одній точці (один розв'язок), бути паралельними (розв'язків немає) або збігатися (безліч розв'язків). Для системи 3×3 рівняння — це площини, і можливі ті самі три випадки.