Калькулятор НСД і НСК

Введіть від двох до шести чисел — калькулятор миттєво знайде найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне та покаже розклад кожного числа на прості множники «драбинкою».

Перше число

Друге число

Від 2 до 6 чисел; порожні поля пропускаються

НСД (найбільший спільний дільник)

НСК (найменше спільне кратне)

Класичний розклад (Драбинка)

Розклад кожного числа на прості множники:

3618931

2233

2412631

2223

$36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$

$24 = 2^{3} \cdot 3$

Степені простих множників

Спільні множники — ті, що є в розкладі кожного числа: беремо їхній найменший степінь. Для НСК беремо всі множники з найбільшим степенем.

Множник	36	24	Мін. (НСД)	Макс. (НСК)
2	2	3	2	3
3	2	1	1	2

Число в клітинці — степінь, у якому простий множник входить у розклад. «—» означає, що множника в числі немає.

Множини простих множників (Діаграма Венна)

Спільні множники знаходяться посередині (це НСД). Усі множники разом утворюють НСК.

Перетин (НСД)

2 × 2 × 3

Об'єднання (НСК)

3 × 2 × 2 × 3 × 2

НСД і НСК через множники

НСД — добуток спільних множників (є в розкладі кожного числа) з найменшими степенями:

2^{2} \cdot 3 = 12

НСК — добуток усіх множників у найбільших степенях:

2^{3} \cdot 3^{2} = 72

Алгоритм Евкліда (для двох чисел)

Ділимо більше число на менше, потім дільник — на остачу, і так доти, доки остача не стане нульовою. Останній дільник — це НСД.

36 = 1 \cdot 24 + 12

24 = 2 \cdot 12 + 0

\text{НСД}(36,\, 24) = 12

НСК знаходимо через НСД: добуток чисел ділимо на НСД.

\text{НСК}(36,\, 24) = \frac{36 \cdot 24}{12} = 72

Схожі інструменти

Калькулятор кореня

new калькулятор

Квадратний, кубічний і n-го степеня корінь, повний квадрат, винесення множника з-під кореня

Дроби

🔥 калькулятор

Додавання, віднімання, множення та скорочення дробів

Пропорції

🔥 калькулятор

Знаходження невідомого члена пропорції (x) методом хрест-навхрест

Відсотки

🔥 калькулятор

Відсоток від числа, знижка, націнка, ПДВ 20% і початкове число

Теорема Піфагора

🔥 калькулятор

Гіпотенуза та катети прямокутного трикутника

Графік функції

🔥 калькулятор

Побудова графіків функцій онлайн

Що таке НСД і НСК

Найбільший спільний дільник (НСД) кількох чисел — це найбільше натуральне число, на яке діляться всі ці числа без остачі. Наприклад, НСД(36, 24) = 12.

Найменше спільне кратне (НСК) — це найменше число, яке ділиться на кожне з цих чисел. Наприклад, НСК(36, 24) = 72.

Метод розкладу на прості множники

У школі НСД і НСК зазвичай знаходять через розклад на прості множники «драбинкою»: число ділять на найменший простий дільник, записуючи дільники праворуч від вертикальної риски, і так доти, доки не дійдуть до одиниці.

НСД — добуток спільних множників, тобто тих, що є в розкладі кожного числа, у найменших степенях.
НСК — добуток усіх множників у найбільших степенях.

НСД і НСК трьох і більше чисел

Правило те саме, лише розкладів більше. Візьмемо 12, 18 і 30:

12 = 2^{2} \cdot 3, \quad 18 = 2 \cdot 3^{2}, \quad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

Множники 2 і 3 є в кожному розкладі, а 5 — лише в одному, тому він не спільний. Беремо найменший степінь кожного спільного множника:

\text{НСД}(12, 18, 30) = 2 \cdot 3 = 6

Для НСК беремо всі множники з найбільшими степенями:

\text{НСК}(12, 18, 30) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 180

Для наочності калькулятор будує таблицю степенів: у стовпчику «Мін.» стоїть степінь для НСД, у стовпчику «Макс.» — для НСК.

Алгоритм Евкліда для двох чисел

Щоб знайти НСД двох чисел без розкладу на множники, ділять більше число на менше з остачею, потім дільник ділять на остачу, і так до нульової остачі. Останній дільник і є НСД:

36 = 1 \cdot 24 + 12, \qquad 24 = 2 \cdot 12 + 0 \;\Rightarrow\; \text{НСД}(36, 24) = 12

Далі НСК двох чисел легко знайти через НСД:

\text{НСК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НСД}(a, b)}

Ця формула працює лише для двох чисел. Для трьох і більше НСК знаходять по черзі:

\text{НСК}(a, b, c) = \text{НСК}\bigl(\text{НСК}(a, b),\, c\bigr)

Як користуватися калькулятором

Введіть перше і друге число у поля.
Щоб знайти НСД і НСК більшої кількості чисел, натисніть «Додати число» — з’явиться нове поле (усього до шести). Зайве поле можна прибрати кнопкою «Прибрати».
Результат з’явиться автоматично. Натисніть «Показати розв’язання», щоб побачити розклад кожного числа драбинкою, таблицю степенів і те, як із множників утворюються НСД і НСК. Для двох чисел додатково показано діаграму Венна та алгоритм Евкліда.

Часті запитання

Чим відрізняється НСД від НСК?

НСД (найбільший спільний дільник) — найбільше число, на яке діляться всі задані числа без остачі. НСК (найменше спільне кратне) — найменше число, яке ділиться на кожне з заданих чисел без остачі.

Як знайти НСД і НСК через розклад на прості множники?

Розкладіть числа на прості множники. НСД — добуток множників, які є в розкладі кожного числа, з найменшими степенями; НСК — добуток усіх множників у найбільших степенях. Наприклад, 36 = 2²·3², 24 = 2³·3: НСД = 2²·3 = 12, НСК = 2³·3² = 72.

Як знайти НСД і НСК трьох і більше чисел?

Так само через прості множники: 12 = 2²·3, 18 = 2·3², 30 = 2·3·5, тому НСД = 2·3 = 6, НСК = 2²·3²·5 = 180. Можна й по черзі: НСД(a, b, c) = НСД(НСД(a, b), c), і так само для НСК. У калькулятор можна ввести від двох до шести натуральних чисел; якщо НСК більше за 9 007 199 254 740 991, калькулятор попередить, що точно порахувати його неможливо.

Як знайти НСД за алгоритмом Евкліда?

Поділіть більше число на менше з остачею, потім дільник поділіть на остачу — і так, доки остача не стане нульовою. Останній дільник і є НСД. Наприклад, для 36 і 24: 36 = 1·24 + 12, 24 = 2·12 + 0, тому НСД = 12. Калькулятор показує цей спосіб, коли введено два числа.

Як пов’язані НСД і НСК?

Для двох натуральних чисел a і b виконується рівність НСД(a, b) · НСК(a, b) = a · b. Тому НСК можна знайти як a · b / НСД(a, b). Для трьох і більше чисел така рівність у загальному випадку не виконується.