Halyavka.net
ПОВЕРНУТИСЯ НА halyavka.net швидке сучасне ГДЗ
🧪 Halyavka Lab
Усі інструменти

Калькулятор кореня

Знайдіть квадратний, кубічний корінь або корінь n-го степеня з будь-якого числа. Калькулятор перевіряє, чи число є повним квадратом чи кубом, виносить множник з-під кореня (√72 = 6√2) і вносить його назад.

Степінь кореня
Відповідь
72≈8,485\sqrt{72} \approx 8{,}485
898,485
✗ 72 не є повним квадратом
Корінь лежить між 8 і 9.
Спрощений вигляд
72=62\sqrt{72} = 6\sqrt{2}

Розв’язання

Квадратний корінь з числа a — це таке невід’ємне число x, що x у степені 2 дорівнює a:

a=x  ⟺  x2=a\sqrt{a} = x \iff x^{2} = a

Число не є повним степенем. Затиснемо його між двома сусідніми повними степенями:

82=64<72<81=928^{2} = 64 < 72 < 81 = 9^{2}8<72<98 < \sqrt{72} < 9

Виносимо з-під кореня множники, що є повними степенями:

72=62\sqrt{72} = 6\sqrt{2}

Наближене значення (до 3 знаків після коми):

72≈8,485\sqrt{72} \approx 8{,}485
Знаків після коми:

Схожі інструменти

НСД і НСК

🔥 калькулятор

Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

Дроби

🔥 калькулятор

Додавання, віднімання, множення та скорочення дробів

Пропорції

🔥 калькулятор

Знаходження невідомого члена пропорції (x) методом хрест-навхрест

Відсотки

🔥 калькулятор

Відсоток від числа, знижка, націнка, ПДВ 20% і початкове число

Теорема Піфагора

🔥 калькулятор

Гіпотенуза та катети прямокутного трикутника

Графік функції

🔥 калькулятор

Побудова графіків функцій онлайн

Що таке корінь числа

Корінь n-го степеня з числа aa — це таке число xx, n-й степінь якого дорівнює aa:

an=x  ⟺  xn=a\sqrt[n]{a} = x \iff x^{n} = a
  • Квадратний корінь a\sqrt{a} (n = 2): 49=7\sqrt{49} = 7, бо 72=497^2 = 49. Підкореневе число має бути невід’ємним, і результат теж невід’ємний.
  • Кубічний корінь a3\sqrt[3]{a} (n = 3): −273=−3\sqrt[3]{-27} = -3, бо (−3)3=−27(-3)^3 = -27. Тут підкореневе число може бути й від’ємним.
  • Корінь n-го степеня: для парного n діють правила квадратного кореня, для непарного — кубічного.

Корінь — це степінь із дробовим показником

an=a1n\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

Піднести число до степеня й навпаки — знайти основу за степенем — можна в калькуляторі степенів.

Властивості коренів

Корінь із добутку

a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

Корінь із частки

ab=ab\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Корінь у степені

(a)2=a,a≥0\left(\sqrt{a}\right)^2 = a, \quad a \ge 0

Корінь із квадрата

a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|

Як винести множник з-під кореня

Щоб спростити корінь, розкладіть підкореневе число на прості множники (наприклад, «драбинкою» — див. розкладання на множники), згрупуйте їх по nn однакових і виведіть кожну групу з-під кореня. Розберемо 72\sqrt{72}:

72=23⋅3272 = 2^{3} \cdot 3^{2} 72=22⋅2⋅32=2⋅3⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}

Правило: an⋅bn=a⋅bn\sqrt[n]{a^{n} \cdot b} = a \cdot \sqrt[n]{b}. Для кубічного кореня групи складаються з трьох однакових множників: 543=33⋅23=323\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^{3} \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}.

Як внести множник під корінь

Дія обернена до винесення: множник підносимо до степеня кореня й множимо на число під коренем.

35=32⋅5=9⋅5=453\sqrt{5} = \sqrt{3^{2} \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} 233=23⋅33=2432\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 3} = \sqrt[3]{24}

Таблиця квадратів і кубів

Повні квадрати й куби корисно знати напам’ять — за ними легко перевірити, чи корінь цілий.

Квадрати

12=11^2 = 122=42^2 = 432=93^2 = 942=164^2 = 1652=255^2 = 2562=366^2 = 3672=497^2 = 4982=648^2 = 6492=819^2 = 81102=10010^2 = 100112=12111^2 = 121122=14412^2 = 144132=16913^2 = 169142=19614^2 = 196152=22515^2 = 225162=25616^2 = 256172=28917^2 = 289182=32418^2 = 324192=36119^2 = 361202=40020^2 = 400

Куби

13=11^3 = 123=82^3 = 833=273^3 = 2743=644^3 = 6453=1255^3 = 12563=2166^3 = 21673=3437^3 = 34383=5128^3 = 51293=7299^3 = 729103=100010^3 = 1000

Схожі інструменти: калькулятор степенів, квадратні рівняння, теорема Піфагора — там корені трапляються найчастіше.

Часті запитання

Чи можна добути квадратний корінь з від’ємного числа?

Серед дійсних чисел — ні. Квадрат будь-якого числа невід’ємний, тому жодне число, піднесене до квадрата, не дасть від’ємного результату. Те саме стосується кореня будь-якого парного степеня (4-го, 6-го тощо). Кубічний корінь та інші корені непарного степеня з від’ємних чисел існують: ∛(−27) = −3.

Як перевірити, чи є число повним квадратом?

Розкладіть число на прості множники: якщо всі степені простих множників парні, число — повний квадрат (144 = 2⁴ · 3², корінь дорівнює 2² · 3 = 12). Так само для куба: усі степені мають ділитися на 3. Швидка підказка: повний квадрат не може закінчуватися на 2, 3, 7 чи 8.

Як винести множник з-під кореня?

Розкладіть підкореневе число на прості множники й згрупуйте їх по два (для квадратного кореня) або по три (для кубічного). Кожна група виходить з-під кореня одним множником. Наприклад, √72 = √(2² · 3² · 2) = 2 · 3 · √2 = 6√2.

Як внести множник під корінь?

Піднесіть множник до степеня кореня й помножте на число під коренем: a·√b = √(a² · b). Наприклад, 3√5 = √(9 · 5) = √45. Для кубічного кореня множник підносять до куба: 2∛3 = ∛(8 · 3) = ∛24.

Що означає знак ≈ у відповіді?

Корінь із числа, яке не є повним степенем, — ірраціональне число: його десятковий запис нескінченний і неперіодичний. Калькулятор показує округлене значення, тому ставить знак ≈. Кількість знаків після коми можна змінити під полем відповіді.