Ділення з остачею

Що таке ділення з остачею

Якщо ціле число $a$ не ділиться на $b$ націло, його ділять із остачею: знаходять найбільше ціле число $q$, для якого $b \cdot q$ не перевищує $a$, а різницю називають остачею $r$.

• $a$ — ділене, $b$ — дільник;
• $q$ — неповна частка (скільки разів дільник цілком вміщається в діленому);
• $r$ — остача. Вона завжди менша за дільник: $0 \le r < b$.

Приклад

Скільки разів 6 вміщається в 47? Найближче менше кратне числа 6 — це $42 = 6 \cdot 7$, а $47 - 42 = 5$. Тому

Перевірка завжди проста: помножте неповну частку на дільник і додайте остачу — вийде ділене. Для ділення багатоцифрових чисел «куточком» скористайтеся тренажером «Ділення в стовпчик».

Ділення з остачею для від’ємних чисел

Остача ніколи не буває від’ємною. Тому для від’ємного діленого частку «округлюють униз» — до найближчого меншого цілого:

Якщо поділити −17 на 5 і відкинути дробову частину, вийде −3 (ост. −2) — так працюють багато мов програмування, але в шкільній математиці правильна відповідь: −4 (ост. 3).

Які бувають остачі

При діленні на $b$ можливі лише $b$ різних остач: від 0 до $b - 1$. Наприклад, при діленні на 5:

Тут $b = 5$, тож остачі можуть бути лише 0, 1, 2, 3 і 4. Остача 0 означає, що число ділиться націло. Пов’язаний факт для пошуку найбільшого спільного дільника: $\text{НСД}(a,\ b) = \text{НСД}(b,\ r)$ — на ньому ґрунтується алгоритм Евкліда в калькуляторі НСД і НСК.

Ознаки подільності

Ознаки дозволяють дізнатися про подільність, не виконуючи ділення:

• на 2 — остання цифра парна (0, 2, 4, 6, 8);
• на 3 — сума цифр ділиться на 3;
• на 4 — число з двох останніх цифр ділиться на 4 (або вони обидві нулі);
• на 5 — остання цифра 0 або 5;
• на 9 — сума цифр ділиться на 9;
• на 10 — остання цифра 0.

Наприклад, число 7236 закінчується на 6 (ділиться на 2), сума цифр $7 + 2 + 3 + 6 = 18$ (ділиться на 3 і на 9), а 36 ділиться на 4. На 5 і на 10 воно не ділиться. Введіть своє число на вкладці «Ознаки подільності» — калькулятор покаже кожну ознаку для нього.