Калькулятор дискримінанта

Q: Що таке дискримінант квадратного рівняння?

Дискримінант — це число D = b² − 4ac, складене з коефіцієнтів квадратного рівняння ax² + bx + c = 0. За його знаком одразу видно, скільки дійсних коренів має рівняння, ще до їх обчислення.

Q: Скільки коренів має рівняння, якщо D > 0, D = 0 або D < 0?

Якщо D > 0 — два різні корені. Якщо D = 0 — один корінь (два однакові). Якщо D < 0 — дійсних коренів немає, бо під знаком кореня від’ємне число.

Q: Як знайти корені через дискримінант?

Спершу обчисліть D = b² − 4ac. Якщо D ≥ 0, корені знаходять за формулою x = (−b ± √D) / (2a). Калькулятор показує кожен крок підстановки та скорочення дробів.

Q: Що таке D₁ і коли її використовують?

Якщо коефіцієнт b — парне число, зручно взяти k = b/2 і рахувати D₁ = k² − ac = D/4. Корені тоді: x = (−k ± √D₁) / a. Числа менші, а знак D₁ збігається зі знаком D.

Q: Що робити, якщо a = 0?

Тоді рівняння не квадратне, а лінійне: bx + c = 0, і дискримінанта в нього немає. Його розв’язок: x = −c / b (якщо b ≠ 0).

Введіть коефіцієнти a, b і c квадратного рівняння — калькулятор обчислить дискримінант із підстановкою, скаже, скільки коренів має рівняння, і покаже корені по кроках.

коеф. a

x^2 +

коеф. b

x +

коеф. c

= 0

Приклади:

Дискримінант

Два різні корені

D = 1

D > 0: рівняння має два різні дійсні корені — парабола перетинає вісь Ox у двох точках.

D > 0

D = 0

D < 0

Корінь x₁

Корінь x₂

Розв’язання

1. Рівняння та коефіцієнти
$\begin{gathered} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ a = 1,\; b = -5,\; c = 6 \end{gathered}$
2. Формула дискримінанта
$D = b^2 - 4ac$
3. Підставляємо
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
4. Формула коренів
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
5. Добуваємо корінь з D
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$
6. Корінь x₁
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
7. Корінь x₂
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Відповідь

x_1 = 3; \quad x_2 = 2

Скорочена формула з $D_1 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac$ застосовується, коли коефіцієнт $b$ — парне ціле число (наприклад, −4 або 6). Для вашого рівняння скористайтеся загальною формулою вище.

Схожі інструменти

НСД і НСК

🔥 калькулятор

Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

Калькулятор кореня

new калькулятор

Квадратний, кубічний і n-го степеня корінь, повний квадрат, винесення множника з-під кореня

Дроби

🔥 калькулятор

Додавання, віднімання, множення та скорочення дробів

Пропорції

🔥 калькулятор

Знаходження невідомого члена пропорції (x) методом хрест-навхрест

Відсотки

🔥 калькулятор

Відсоток від числа, знижка, націнка, ПДВ 20% і початкове число

Теорема Піфагора

🔥 калькулятор

Гіпотенуза та катети прямокутного трикутника

Формула дискримінанта

Для квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ (де $a \neq 0$ ) дискримінант обчислюють за формулою:

D = b^2 - 4ac

Скільки коренів має рівняння

Дискримінант	Корені	Формула
$D > 0$	два різні корені	$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$D = 0$	один корінь (два однакові)	$x = \frac{-b}{2a}$
$D < 0$	дійсних коренів немає	—

Геометрично: коли $D > 0$ , парабола $y = ax^2 + bx + c$ перетинає вісь Ox у двох точках, коли $D = 0$ — дотикається до неї, а коли $D < 0$ — проходить повністю вище або нижче осі. Побачити це можна на графіку функції.

Парне b: дискримінант D₁

Якщо коефіцієнт $b$ — парне число, обчислення можна спростити. Позначимо $k = \frac{b}{2}$ :

Скорочений дискримінант

D_1 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac = \frac{D}{4}

Корені

x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}, \quad k = \frac{b}{2}

Знак $D_1$ збігається зі знаком $D$ , тому висновок про кількість коренів той самий. Калькулятор вище показує обидва способи, якщо $b$ парне.

Приклади

$x^2 - 5x + 6 = 0$ — два корені:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1, \quad x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2}, \quad x_1 = 3,; x_2 = 2$
$x^2 - 4x + 4 = 0$ — один корінь:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0, \quad x = \frac{4}{2} = 2$
$x^2 + 2x + 5 = 0$ — коренів немає:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$ — парне $b$ , рахуємо через $D_1$ :
$k = -3,; D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot 5 = 4, \quad x_{1,2} = \frac{3 \pm 2}{1}, \quad x_1 = 5,; x_2 = 1$

Що ще подивитися

Повний розв’язок рівняння з графіком параболи — у калькуляторі квадратних рівнянь.
Коли коефіцієнти «гарні», корені швидше підібрати за теоремою Вієта: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ , $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .
Побудувати параболу й побачити точки перетину з віссю Ox можна в побудові графіків функцій.

Часті запитання

Що таке дискримінант квадратного рівняння?

Дискримінант — це число D = b² − 4ac, складене з коефіцієнтів квадратного рівняння ax² + bx + c = 0. За його знаком одразу видно, скільки дійсних коренів має рівняння, ще до їх обчислення.

Скільки коренів має рівняння, якщо D > 0, D = 0 або D < 0?

Якщо D > 0 — два різні корені. Якщо D = 0 — один корінь (два однакові). Якщо D < 0 — дійсних коренів немає, бо під знаком кореня від’ємне число.

Як знайти корені через дискримінант?

Спершу обчисліть D = b² − 4ac. Якщо D ≥ 0, корені знаходять за формулою x = (−b ± √D) / (2a). Калькулятор показує кожен крок підстановки та скорочення дробів.

Що таке D₁ і коли її використовують?

Якщо коефіцієнт b — парне число, зручно взяти k = b/2 і рахувати D₁ = k² − ac = D/4. Корені тоді: x = (−k ± √D₁) / a. Числа менші, а знак D₁ збігається зі знаком D.

Що робити, якщо a = 0?

Тоді рівняння не квадратне, а лінійне: bx + c = 0, і дискримінанта в нього немає. Його розв’язок: x = −c / b (якщо b ≠ 0).