Halyavka.net
ПОВЕРНУТИСЯ НА halyavka.net швидке сучасне ГДЗ
🧪 Halyavka Lab
Усі інструменти

Комбінаторика

Знайдіть кількість перестановок, розміщень або комбінацій — без повторень і з повтореннями. Калькулятор покаже формулу, підстановку й точну відповідь, а підказка допоможе обрати потрібний вид.

Вибираємо k з n елементів, порядок неважливий. Кожен елемент вибирають не більше одного разу.

Приклади:
Кількість комбінацій
120
Cnk=n!k!⋅(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Розв’язання

  1. 1. Формула
    Cnk=n!k!⋅(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
  2. 2. Підставляємо
    C103=10!3!⋅7!C_{10}^{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}
  3. 3. Скорочуємо на 7!
    =8⋅9⋅101⋅2⋅3=7206=120= \frac{8 \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{720}{6} = 120
Відповідь
C103=120C_{10}^{3} = 120

Що вибрати: розміщення чи комбінації?

Дайте відповідь на запитання — і підказка покаже потрібну формулу.

Чи важливий порядок елементів?

Якщо елементи можуть повторюватися (наприклад, цифри в коді), перемкніть «З повтореннями».

Схожі інструменти

НСД і НСК

🔥 калькулятор

Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

Калькулятор кореня

new калькулятор

Квадратний, кубічний і n-го степеня корінь, повний квадрат, винесення множника з-під кореня

Дроби

🔥 калькулятор

Додавання, віднімання, множення та скорочення дробів

Пропорції

🔥 калькулятор

Знаходження невідомого члена пропорції (x) методом хрест-навхрест

Відсотки

🔥 калькулятор

Відсоток від числа, знижка, націнка, ПДВ 20% і початкове число

Теорема Піфагора

🔥 калькулятор

Гіпотенуза та катети прямокутного трикутника

Три основні види вибірок

Комбінаторика відповідає на запитання «скількома способами?». Усі задачі шкільного курсу зводяться до трьох видів вибірок — залежно від того, чи важливий порядок елементів і чи беруть усі елементи.

Без повторень

Перестановки
Pn=n!P_n = n!

усі n елементів, порядок важливий

Розміщення
Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

k з n, порядок важливий

Комбінації
Cnk=n!k!⋅(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

k з n, порядок неважливий

З повтореннями

Перестановки з повтореннями
Pn(n1,n2,…,nm)=n!n1!⋅n2!⋅…⋅nm!P_n(n_1, n_2, \ldots, n_m) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_m!}

серед n елементів є однакові

Розміщення з повтореннями
A‾nk=nk\overline{A}_n^k = n^k

k разів обираємо з n, елементи можуть повторюватися

Комбінації з повтореннями
C‾nk=Cn+k−1k=(n+k−1)!k!⋅(n−1)!\overline{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}

k з n видів, порядок неважливий

Як обрати: розміщення чи комбінації

  1. Чи важливий порядок? Змініть місцями два обрані елементи. Якщо результат став іншим — порядок важливий.
  2. Так, важливий і беремо всі n елементів — перестановки; беремо лише k із n — розміщення.
  3. Ні, неважливий — комбінації.
  4. Чи можуть елементи повторюватися? Якщо так, використовуйте формули з повтореннями.

Приклади задач

  • Перестановки. Скількома способами можна розставити 4 книжки на полиці?
    P4=4!=1⋅2⋅3⋅4=24P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24
  • Розміщення. У класі 25 учнів. Скількома способами можна обрати старосту та його заступника? Порядок важливий (староста ≠ заступник).
    A252=25!23!=24⋅25=600A_{25}^{2} = \frac{25!}{23!} = 24 \cdot 25 = 600
  • Комбінації. Скількома способами можна обрати двох чергових із 25 учнів? Порядок неважливий.
    C252=25!2!⋅23!=24⋅251⋅2=300C_{25}^{2} = \frac{25!}{2! \cdot 23!} = \frac{24 \cdot 25}{1 \cdot 2} = 300
  • Перестановки з повтореннями. Скільки різних «слів» можна утворити з літер слова «МАТЕМАТИКА»?
    P10(2,3,2,1,1,1)=10!2!⋅3!⋅2!=151 200P_{10}(2, 3, 2, 1, 1, 1) = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = 151\,200
  • Розміщення з повтореннями. Скільки існує чотирицифрових кодів (цифри можуть повторюватися, код може починатися з нуля)?
    A‾104=104=10 000\overline{A}_{10}^{4} = 10^4 = 10\,000
  • Комбінації з повтореннями. Скількома способами можна купити 3 кульки морозива з 5 смаків?
    C‾53=C73=5⋅6⋅71⋅2⋅3=35\overline{C}_{5}^{3} = C_{7}^{3} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35

Факторіал

У всіх формулах використовується факторіал n!=1⋅2⋅…⋅nn! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n, до того ж 0!=10! = 1. Значення факторіала будь-якого числа можна окремо знайти в калькуляторі факторіала. А якщо задача про шанс події — дивіться калькулятор ймовірності: класична ймовірність часто рахується саме через комбінації.

Часті запитання

Чим відрізняються розміщення, перестановки й комбінації?

У розміщеннях і перестановках порядок елементів важливий, у комбінаціях — ні. Перестановки — це розстановки всіх n елементів, розміщення — впорядковані вибірки k елементів із n, комбінації — невпорядковані вибірки k елементів із n.

Як зрозуміти, яку формулу застосувати?

Запитайте себе: чи зміниться результат, якщо поміняти елементи місцями? Якщо так (призери олімпіади: золото, срібло, бронза) — розміщення. Якщо ні (склад команди, лотерейні числа) — комбінації. Якщо беруть усі елементи й лише розставляють їх — перестановки.

Що таке комбінації з повтореннями?

Це вибірки k елементів із n видів, де елементи одного виду можна брати кілька разів, а порядок не важливий. Їх кількість дорівнює C(n + k − 1, k). Наприклад, скільки способів купити 3 кульки морозива з 5 смаків — це 35.

Чому 0! = 1?

Це домовленість, потрібна, щоб формули працювали для крайніх випадків: наприклад, C(n, 0) = n! / (0! · n!) має дорівнювати 1 — існує один спосіб не вибрати нічого.

Які найбільші числа можна вводити?

Калькулятор рахує точно (без округлень) для n та k до 1000. Якщо результат має більше 15 цифр, ви побачите його в науковій формі та повний запис усіх цифр.