Рівняння прямої

Q: Як знайти рівняння прямої за двома точками?

Спочатку знайдіть кутовий коефіцієнт k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), потім вільний член b = y₁ − k · x₁. Підставте їх у рівняння y = kx + b. Наприклад, для точок A(−2; −1) і B(2; 5): k = 6 / 4 = 3/2, b = −1 + 3 = 2, тож y = 3/2 · x + 2.

Q: Що означають k і b у рівнянні y = kx + b?

Кутовий коефіцієнт k показує, наскільки змінюється y, коли x збільшується на 1: за k > 0 пряма зростає, за k < 0 — спадає, за k = 0 вона горизонтальна. Число b — це ордината точки, у якій пряма перетинає вісь Oy.

Q: Чому у вертикальної прямої немає кутового коефіцієнта?

Якщо x₁ = x₂, то в формулі k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) знаменник дорівнює нулю, а ділити на нуль не можна. Усі точки такої прямої мають однакову абсцису, тому її рівняння — x = a. У загальному вигляді це ax + by + c = 0 з b = 0.

Q: Як перейти від ax + by + c = 0 до y = kx + b?

Перенесіть ax і c в праву частину й поділіть на b (b ≠ 0): y = −(a/b) · x − c/b. Отже, k = −a/b, а вільний член дорівнює −c/b. Якщо b = 0, пряма вертикальна: x = −c/a.

Q: Як за рівняннями визначити, що прямі паралельні чи перпендикулярні?

Прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ паралельні, якщо k₁ = k₂ (і b₁ ≠ b₂), та перпендикулярні, якщо k₁ · k₂ = −1. Вертикальна пряма перпендикулярна до горизонтальної.

Введіть дві точки, точку й кутовий коефіцієнт або загальне рівняння — і отримайте рівняння прямої у двох виглядах, значення k і b, перетини з осями, графік і розв’язання по кроках.

Точка A

x₁y₁

Точка B

x₂y₂

Вводьте цілі, десяткові числа (кома або крапка) чи звичайні дроби: 2, −3, 0,5, 2/3.

Рівняння прямої

y = \frac{3}{2}x + 2

3x - 2y + 4 = 0

k і b

k = \frac{3}{2},\quad b = 2

Перетин з Ox

\left(-\frac{4}{3};\ 0\right)

Перетин з Oy

\left(0;\ 2\right)

k > 0: пряма зростає (кут нахилу до осі Ox гострий).

Колесо — масштаб, перетягування — рух. Ромбики на осях — точки перетину прямої з осями координат.

Розв’язання

1
Кутовий коефіцієнт k
Кутовий коефіцієнт — відношення приросту y до приросту x між двома точками.
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$k = \frac{5 - \left(-1\right)}{2 - \left(-2\right)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
2
Вільний член b
Точка A лежить на прямій, тому її координати задовольняють рівняння y = kx + b.
$y_0 = k x_0 + b \ \Rightarrow\ b = y_0 - k x_0$
$b = -1 - \frac{3}{2} \cdot \left(-2\right) = -1 - \left(-3\right) = 2$
3
Рівняння прямої
$y = kx + b$
$y = \frac{3}{2}x + 2$
4
Загальний вигляд ax + by + c = 0
Множимо обидві частини на 2, щоб прибрати дроби. Переносимо всі доданки в одну частину.
$y = \frac{3}{2}x + 2$
$2y = 3x + 4$
$3x - 2y + 4 = 0$
5
Перевірка
Підставляємо координати точок у рівняння: рівність має виконуватися.
$A\,(-2;\ -1):\quad \frac{3}{2} \cdot \left(-2\right) + 2 = -1\ =\ -1\ \checkmark$
$B\,(2;\ 5):\quad \frac{3}{2} \cdot 2 + 2 = 5\ =\ 5\ \checkmark$

Схожі інструменти

НСД і НСК

🔥 калькулятор

Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

Калькулятор кореня

new калькулятор

Квадратний, кубічний і n-го степеня корінь, повний квадрат, винесення множника з-під кореня

Дроби

🔥 калькулятор

Додавання, віднімання, множення та скорочення дробів

Пропорції

🔥 калькулятор

Знаходження невідомого члена пропорції (x) методом хрест-навхрест

Відсотки

🔥 калькулятор

Відсоток від числа, знижка, націнка, ПДВ 20% і початкове число

Теорема Піфагора

🔥 калькулятор

Гіпотенуза та катети прямокутного трикутника

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Будь-яка невертикальна пряма на координатній площині задається рівнянням

y = kx + b

$k$ — кутовий коефіцієнт: на скільки змінюється $y$ , коли $x$ збільшується на 1. Якщо $k > 0$ , пряма зростає, якщо $k < 0$ — спадає, якщо $k = 0$ — горизонтальна;
$b$ — вільний член: пряма перетинає вісь $Oy$ у точці $(0;\ b)$ .

Як знайти рівняння прямої за двома точками

Нехай пряма проходить через точки $A(x_1;\ y_1)$ і $B(x_2;\ y_2)$ , причому $x_1 \ne x_2$ . Спершу знаходимо кутовий коефіцієнт:

k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Потім підставляємо координати однієї з точок у $y = kx + b$ і знаходимо $b$ :

b = y_1 - k \cdot x_1

Можна й одразу записати канонічне рівняння прямої через дві точки:

\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}

Приклад

Знайдемо рівняння прямої через точки $A(-2;\ -1)$ і $B(2;\ 5)$ .

k = \frac{5 - (-1)}{2 - (-2)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

b = -1 - \frac{3}{2} \cdot (-2) = -1 + 3 = 2

Отже, рівняння прямої:

y = \frac{3}{2}x + 2

Перевірка: для точки $B$ маємо $\frac{3}{2} \cdot 2 + 2 = 5$ , а для $A$ — $\frac{3}{2} \cdot (-2) + 2 = -1$ . Обидві рівності виконуються.

Пряма через точку і кутовий коефіцієнт

Якщо відомі точка $M(x_0;\ y_0)$ і коефіцієнт $k$ , рівняння прямої записують так:

y - y_0 = k\,(x - x_0)

Розкривши дужки й перенісши $y_0$ вправо, отримаємо $y = kx + b$ , де $b = y_0 - k x_0$ .

Загальне рівняння прямої

Загальне рівняння прямої (коефіцієнти $a$ і $b$ не дорівнюють нулю одночасно; зазвичай його записують із цілими коефіцієнтами):

ax + by + c = 0

Якщо $b \ne 0$ , виразимо $y$ :

y = -\frac{a}{b}\,x - \frac{c}{b}

Тому $k = -\frac{a}{b}$ , а вільний член дорівнює $-\frac{c}{b}$ . Наш приклад у загальному вигляді (домножили на 2, щоб прибрати дріб): $3x - 2y + 4 = 0$ .

Вертикальна пряма

Якщо $x_1 = x_2$ , пряма вертикальна: усі її точки мають однакову абсцису, тому рівняння має вигляд

x = a

Такої прямої не можна записати як $y = kx + b$ : кутового коефіцієнта в неї немає, бо в формулі для $k$ знаменник дорівнював би нулю. У загальному вигляді це $ax + c = 0$ (тобто $b = 0$ ).

Паралельні й перпендикулярні прямі

Прямі $y = k_1x + b_1$ і $y = k_2x + b_2$ паралельні, якщо $k_1 = k_2$ і $b_1 \ne b_2$ ;
вони перпендикулярні, якщо $k_1 \cdot k_2 = -1$ .

Точку перетину двох прямих знаходять, розв’язавши систему рівнянь.

Корисні посилання

Потренуватися знаходити точки за координатами можна в тренажері «Координатна площина».
Довжину відрізка між двома точками знайдіть у калькуляторі відстані між точками.
Графіки інших функцій будуйте в побудовнику графіків.

Часті запитання

Як знайти рівняння прямої за двома точками?

Спочатку знайдіть кутовий коефіцієнт k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), потім вільний член b = y₁ − k · x₁. Підставте їх у рівняння y = kx + b. Наприклад, для точок A(−2; −1) і B(2; 5): k = 6 / 4 = 3/2, b = −1 + 3 = 2, тож y = 3/2 · x + 2.

Що означають k і b у рівнянні y = kx + b?

Кутовий коефіцієнт k показує, наскільки змінюється y, коли x збільшується на 1: за k > 0 пряма зростає, за k < 0 — спадає, за k = 0 вона горизонтальна. Число b — це ордината точки, у якій пряма перетинає вісь Oy.

Чому у вертикальної прямої немає кутового коефіцієнта?

Якщо x₁ = x₂, то в формулі k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) знаменник дорівнює нулю, а ділити на нуль не можна. Усі точки такої прямої мають однакову абсцису, тому її рівняння — x = a. У загальному вигляді це ax + by + c = 0 з b = 0.

Як перейти від ax + by + c = 0 до y = kx + b?

Перенесіть ax і c в праву частину й поділіть на b (b ≠ 0): y = −(a/b) · x − c/b. Отже, k = −a/b, а вільний член дорівнює −c/b. Якщо b = 0, пряма вертикальна: x = −c/a.

Як за рівняннями визначити, що прямі паралельні чи перпендикулярні?

Прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ паралельні, якщо k₁ = k₂ (і b₁ ≠ b₂), та перпендикулярні, якщо k₁ · k₂ = −1. Вертикальна пряма перпендикулярна до горизонтальної.