Системи числення

Введіть число, оберіть основи — і отримайте переведення з поясненням: діленням на основу (з десяткової), розкладом за степенями (у десяткову) або групами біт для двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем.

Число

Із системи з основоюУ систему з основою

Цифри: 0–9 і латинські літери A–Z (A = 10, B = 11 … Z = 35). Можна від’ємне число й пропуски між групами цифр.

Результат

101111₂

47_{10} = 101111_{2}

Розв’язання

1
З десяткової в двійкову: ділення на основу
Ділимо число на 2 із остачею, потім частку знову на 2, і так доти, доки частка не стане 0.
$47 : 2 = 23\ (\text{ост. } 1)$
$23 : 2 = 11\ (\text{ост. } 1)$
$11 : 2 = 5\ (\text{ост. } 1)$
$5 : 2 = 2\ (\text{ост. } 1)$
$2 : 2 = 1\ (\text{ост. } 0)$
$1 : 2 = 0\ (\text{ост. } 1)$
2
Читаємо остачі знизу вгору
Остача останнього ділення — старша цифра результату.
$1\,0\,1\,1\,1\,1$
$47_{10} = 101111_{2}$

Схожі інструменти

НСД і НСК

🔥 калькулятор

Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

Калькулятор кореня

new калькулятор

Квадратний, кубічний і n-го степеня корінь, повний квадрат, винесення множника з-під кореня

Дроби

🔥 калькулятор

Додавання, віднімання, множення та скорочення дробів

Пропорції

🔥 калькулятор

Знаходження невідомого члена пропорції (x) методом хрест-навхрест

Відсотки

🔥 калькулятор

Відсоток від числа, знижка, націнка, ПДВ 20% і початкове число

Теорема Піфагора

🔥 калькулятор

Гіпотенуза та катети прямокутного трикутника

Що таке система числення

У позиційній системі числення значення цифри залежить від її місця (розряду). Кількість різних цифр називають основою системи $b$ . У десятковій системі $b = 10$ , у двійковій — 2, у вісімковій — 8, у шістнадцятковій — 16. Число з цифрами $a_n \ldots a_0$ дорівнює сумі цифр, помножених на степені основи:

a_n a_{n-1} \ldots a_1 a_0\ \text{(основа } b\text{)} = a_n \cdot b^n + a_{n-1} \cdot b^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot b + a_0

Для основ більших за 10 бракує арабських цифр, тому беруть латинські літери: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 і далі до Z = 35. Про степені докладніше — у калькуляторі степенів.

З десяткової в іншу систему: ділення на основу

Діліть число на основу з остачею, потім частку знову на основу — доти, доки частка не стане нулем. Остачі, прочитані знизу вгору, і є запис у новій системі. Про остачі докладніше — на сторінці «Ділення з остачею». Переведемо 47 у двійкову:

\begin{aligned} 47 : 2 &= 23\ (\text{ост. } 1) \\ 23 : 2 &= 11\ (\text{ост. } 1) \\ 11 : 2 &= 5\ (\text{ост. } 1) \\ 5 : 2 &= 2\ (\text{ост. } 1) \\ 2 : 2 &= 1\ (\text{ост. } 0) \\ 1 : 2 &= 0\ (\text{ост. } 1) \end{aligned}

Читаємо остачі знизу вгору: 1, 0, 1, 1, 1, 1. Отже,

47_{10} = 101111_{2}

З іншої системи в десяткову: розклад за степенями

Множимо кожну цифру на основу в степені її розряду (справа наліво, починаючи з 0) й додаємо:

1011_{2} = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0

= 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}

Для шістнадцяткового числа літери замінюють їхніми значеннями:

2F_{16} = 2 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 32 + 15 = 47_{10}

Швидкий спосіб для 2, 8 і 16

Оскільки $8 = 2^3$ і $16 = 2^4$ , одна цифра вісімкової системи відповідає групі з трьох двійкових цифр, а шістнадцяткової — з чотирьох. Щоб перевести двійкове число у вісімкове чи шістнадцяткове, розбийте його на групи справа наліво (у крайній лівій групі додайте нулі, якщо цифр не вистачає) і замініть кожну групу однією цифрою:

\underbrace{101}_{5}\ \underbrace{111}_{7}\ \Rightarrow\ 101111_{2} = 57_{8}

\underbrace{0010}_{2}\ \underbrace{1111}_{F}\ \Rightarrow\ 101111_{2} = 2F_{16}

У зворотний бік кожну цифру записують групою біт. Між вісімковою та шістнадцятковою системами переводять через двійкову. Запам’ятати допоможе таблиця:

Десяткова	Двійкова	Вісімкова	Шістнадцяткова
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Де це використовують

Комп’ютери зберігають усе у двійковому вигляді, а програмісти для стислості записують значення в шістнадцятковій системі: один байт (8 біт) — це рівно дві шістнадцяткові цифри, від 00 до FF. Саме так задають кольори на сайтах, наприклад #FF8800.

Часті запитання

Як перевести число з десяткової системи в двійкову?

Діліть число на 2 із остачею, потім частку знову на 2, і так доти, доки частка не стане 0. Остачі, прочитані знизу вгору, — це двійковий запис. Наприклад, 47 : 2 = 23 (ост. 1), 23 : 2 = 11 (ост. 1), 11 : 2 = 5 (ост. 1), 5 : 2 = 2 (ост. 1), 2 : 2 = 1 (ост. 0), 1 : 2 = 0 (ост. 1). Отже, 47 = 101111₂.

Як перевести число з двійкової системи в десяткову?

Помножте кожну цифру на 2 у степені її розряду (розряди рахують справа наліво від 0) і додайте: 1011₂ = 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11. Так само працює будь-яка основа: у шістнадцятковій множать на степені 16.

Чому в шістнадцятковій системі є букви?

У шістнадцятковій системі 16 цифр, а арабських цифр лише 10 (0–9). Тому для значень 10–15 беруть літери: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. У системах із більшою основою, до 36, використовують літери до Z.

Як швидко перевести число між двійковою, вісімковою й шістнадцятковою системами?

Оскільки 8 = 2³, а 16 = 2⁴, одна вісімкова цифра відповідає групі з 3 двійкових, а одна шістнадцяткова — групі з 4. Щоб перейти з двійкової, розбийте число на групи справа наліво (при потребі додайте нулі зліва) і замініть кожну групу цифрою. Навпаки — розпишіть кожну цифру групою біт.

Які цифри допустимі в системі з основою N?

Лише цифри від 0 до N − 1. У двійковій — тільки 0 і 1, у вісімковій — 0–7, у шістнадцятковій — 0–9 та A–F. Якщо ввести недопустиму цифру (наприклад, 9 у вісімковому числі), калькулятор покаже, яка саме цифра не підходить.