Halyavka.net
ПОВЕРНУТИСЯ НА halyavka.net швидке сучасне ГДЗ
🧪 Halyavka Lab
Усі інструменти

Розкладання многочлена на множники

Введіть многочлен від x — калькулятор винесе спільний множник, застосує формули скороченого множення, розкладе квадратний тричлен через корені або згрупує доданки та покаже кожен крок із перевіркою.

Приклади
  1. 1
    Записуємо многочлен
    P(x)=3x3−12xP(x) = 3x^{3} - 12x
  2. 2
    Виносимо спільний множник за дужки

    НСД коефіцієнтів — 3; найменший степінь x — 1, тому виносимо x.

    3x3−12x=3x(x2−4)3x^{3} - 12x = 3x\left(x^{2} - 4\right)
  3. 3
    Формула різниці квадратів

    Обидва доданки — повні квадрати, а між ними стоїть мінус.

    a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2} - b^{2} = \left(a - b\right)\left(a + b\right)
    x2−4=x2−22x^{2} - 4 = x^{2} - 2^{2}
    =(x−2)(x+2)= \left(x - 2\right)\left(x + 2\right)
    P(x)=3x(x−2)(x+2)P(x) = 3x\left(x - 2\right)\left(x + 2\right)
Відповідь
3x3−12x=3x(x−2)(x+2)3x^{3} - 12x = 3x\left(x - 2\right)\left(x + 2\right)

Перевірка: розкриваємо дужки

Перемноживши знайдені множники, маємо отримати початковий многочлен.

3x(x−2)(x+2)=3x3−12x3x\left(x - 2\right)\left(x + 2\right) = 3x^{3} - 12x

✓ Збігається з початковим многочленом

Схожі інструменти

НСД і НСК

🔥 калькулятор

Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

Калькулятор кореня

new калькулятор

Квадратний, кубічний і n-го степеня корінь, повний квадрат, винесення множника з-під кореня

Дроби

🔥 калькулятор

Додавання, віднімання, множення та скорочення дробів

Пропорції

🔥 калькулятор

Знаходження невідомого члена пропорції (x) методом хрест-навхрест

Відсотки

🔥 калькулятор

Відсоток від числа, знижка, націнка, ПДВ 20% і початкове число

Теорема Піфагора

🔥 калькулятор

Гіпотенуза та катети прямокутного трикутника

Способи розкладання многочлена на множники

Розкласти многочлен на множники — значить подати його як добуток кількох многочленів нижчого степеня. Ось способи, які використовує калькулятор, у порядку застосування.

1. Винесення спільного множника за дужки

ab+ac=a(b+c)ab + ac = a\left(b + c\right)
6x3−9x2=3x2(2x−3)6x^3 - 9x^2 = 3x^2\left(2x - 3\right)

Спільним множником є найбільший спільний дільник коефіцієнтів і змінна xx у найменшому степені. Якщо старший коефіцієнт від’ємний, за дужки виносять і «−».

2. Формули скороченого множення

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = \left(a - b\right)\left(a + b\right)
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = \left(a + b\right)^2
a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = \left(a - b\right)^2

Як aa і bb можуть виступати числа, xx, x2x^2 тощо: наприклад, x4−16=(x2−4)(x2+4)x^4 - 16 = \left(x^2 - 4\right)\left(x^2 + 4\right), а перший множник ще розкладається на (x−2)(x+2)\left(x - 2\right)\left(x + 2\right). Детальніше про формули — в тренажері Формули скороченого множення.

3. Квадратний тричлен через корені

ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a\left(x - x_1\right)\left(x - x_2\right)

Корені x1x_1 і x2x_2 знаходять через дискримінант — див. квадратні рівняння. Коли коренів немає (D<0D < 0), тричлен не розкладається. Для біквадратних многочленів ax4+bx2+cax^4 + bx^2 + c роблять заміну t=x2t = x^2.

4. Групування

Якщо доданків чотири, їх об’єднують у пари так, щоб після винесення спільного множника з кожної пари лишалася однакова дужка:

x3−2x2+3x−6=x2(x−2)+3(x−2)=(x−2)(x2+3)x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = x^2\left(x - 2\right) + 3\left(x - 2\right) = \left(x - 2\right)\left(x^2 + 3\right)

Перевірка результату

Щоб перевірити розкладання, розкрийте дужки й зведіть подібні доданки — має вийти початковий многочлен. Для тренування в зворотній дії скористайтеся тренажером Розкриття дужок.

Дивіться також

Часті запитання

Що означає «розкласти многочлен на множники»?

Це значить записати многочлен у вигляді добутку менших многочленів (і числа). Наприклад, x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Розкладання допомагає скорочувати дроби, розв’язувати рівняння та спрощувати вирази.

У якому порядку розкладають многочлен на множники?

Спершу виносять спільний множник за дужки. Потім перевіряють формули скороченого множення (різниця квадратів, квадрат суми чи різниці). Для квадратного тричлена знаходять корені. Якщо доданків чотири — пробують групування.

Як розкласти квадратний тричлен ax² + bx + c?

Знайдіть корені x₁ і x₂ через дискримінант і запишіть ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Якщо D < 0, тричлен не розкладається на лінійні множники з дійсними числами. Якщо D — не повний квадрат, корені ірраціональні.

Чим цей калькулятор відрізняється від розкладання на прості множники?

Тут розкладають многочлени — вирази зі змінною x. Розкладання чисел (наприклад, 72 = 2³ · 3²) роблять в окремому інструменті «Розкладання на множники» — він працює із натуральними числами.

Чому многочлен «не розкладається»?

Деякі многочлени, наприклад x² + 1 або x² + x + 1, не мають дійсних коренів, тому їх не можна розкласти на лінійні множники. Для многочленів вищих степенів існують і складніші методи (підбір коренів, ділення кутом), які виходять за межі шкільних способів цього калькулятора.